Дистанционное обучение геометрии 10 класс

Уроки №51-52  ( 30.03, 1.04) Правильная пирамида. Решение задач.

 Перед уходом на каникулы мы рассмотрели  тему «Пирамида»

Данное занятие  начнем с повторения понятия пирамиды

Определение. Многогранник РА₁А₂…А_n, составленный из n-угольника А₁А₂...А_n 

и n треугольников РА₁А₂, РА₂А₃ …РА_nА_n-1, называется n-угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Пример пирамиды

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р – вершина пирамиды.

ABCD – основание пирамиды.

РА – боковое ребро.

АВ – ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды. Вспомни  где может располагаться т.Н и как это отражается на свойствах пирамиды( ребер, граней) Можешь просмотреть презентацию   http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Piramida-urok/Piramida-urok.html

Рис. 2

Площадь поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:   S_полн = S_бок + S_осн

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если:

• ее основание – правильный многоугольник;
• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h_а на рисунке это отрезок РМ.

Свойства правильной пирамиды

1. Все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. Боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

         Доказательство этих свойств разберите в пункте учебника 33

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида. АВ = ВС = АС. РО – высота.

Доказать:  . (См. Рис. 5 )          . Рис. 5

Доказательство.

РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что  .

Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S_бок = 3S_РАВ

   Теорема доказана.

 

Задача 1

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,АВСD – квадрат, r = 3 м,

РО – высота пирамиды, РО = 4 м.

Найти:  S_бок . См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение. По доказанной теореме,  .

Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда,     АВ=2r= 6 м .

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

 Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды. РМ – наклонная к плоскости АВС. ОМ-проекция наклонной, а тогда по теореме обратной теореме о трех перпендикулярах ОМ ┴  СД,   ОМ=r= 3 м

РО – высота пирамиды, РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.

 (м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ: 60 м²_.

Задача 2

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен   м. Площадь боковой поверхности равна 18 м². Найдите длину апофемы.

Рис. 7.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамиды, АВ = ВС = СА,  R =   м,S_бок = 18 м².

Найти:  . См. Рис. 7.

Решение.

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника по теореме синусов.

,         ,     АВ=3( м.)

Зная сторону правильного треугольника (  м), найдем его периметр.

Р_АВС =3∙АВ =3∙3=9 (м)

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды  , где h_а – апофема пирамиды. Тогда:

Ответ: 4 м.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой. Для закрепления темы решите задачи №№ 242, 244, 249, 258  01.04 отправьте на почту.

 На 06.04 сделайте модель пирамиды и вычислите для нее площадь боковой и полной поверхности, выполнив необходимые измерения.

 Материалы для просмотра.

 https://handsmake.ru/kak-sdelat-piramidu-iz-bumagi-shema-s-razmerami.html;

 

www.youtube.com › watch,

Скан копии или  фото выполненных заданий сохраните в папке на google –Диске и ссылку отправьте на почту  учителя до 01.04.20

natalia.seliutina@qmail.com